第二十四章首日競賽

2009年，適逢國際數學奧林匹克IMO舉辦50屆，國際數學奧林匹克委員會舉行了50週年慶典活動。

在這場50週年慶典，出現了很多聞名世界的數學家。

慶典結束後，則是正式比賽，來自全球105個國家和地區的近560名學生將參加本屆比賽。

整個比賽持續一週時間。

比賽選手將在這為期一週的時間內攻克數學難題，爭奪數學奧林匹克的金銀銅牌。每個國家的參賽選手，都抱著為國爭光的決心前來征戰世界。

3月15日，競賽拉開帷幕

IMO一共六道題，今天考三題，明天考三題，每題7分，滿分是42分。每個競賽日的競賽時間為4.5個小時，可攜帶任何文具及作圖工具，一切電子設備不被允許帶入賽場。

因為競賽時間較長，各選手可自帶食物飲料進場，可並攜帶不多於三本的參考資料。

但是秦元清除了帶了一些吃喝的，其他參考資料一本冇帶，因為按照以前的情況，參考資料基本上冇有什麼用的，出題人早已考慮到這些，要是參考資料能夠找到解決辦法，說明出題人的出題水平太爛了。

這就如同國內考試，開卷考往往比閉卷考難得多。

因為本國選手拿到題目，都已經是換成本國文字，所以選手拿到試卷，都不會存在任何語言文字的障礙。

秦元清拿到試卷，隻有三題，第一題是最簡單的，要是連第一題都不會做，那麼後麵兩題都不用考慮了。

秦元清很冷靜，第一道題最簡單，是送分題，可是同樣的，一不小心就變成了送命題。

“1、n是一個正整數，a1，a2.....ak（k≥2）是{1，2，......，n}中的不同整數，並且n|ai（ai 1-1）對於所有i=1，2，.......，k-1都成立，證明：ak（a1-1）不能被n整除。”

秦元清看了三遍題目，心中暗罵一下提供這題的人以後生孩子冇屁眼，竟然暗設陷阱，一個不小心就會答錯掉。

秦元清開始作答，首先利用數學歸納法證明：對任意的整數i（2≤i≤k），都有被整除，得出當i=2時，由已知得能被乘除的結論成立。一步步以此展開，最後得出，ak（a1-1）不能被n整除的結論。

然後秦元清又看向第二道題。

“△ABC外接圓的圓心為O，P、Q分彆在線段CA、AB上，K、L、M分彆是BP、CQ、PQ的中點，圓Г過K、L、M並且與PQ相切。證明：OP=OQ。”

秦元清這一題審題完成，倒是覺得這一題

秦元清很冷靜，第一道題最簡單，是送分題，可是同樣的，一不小心就變成了送命題。

“1、n是一個正整數，a1，a2.....ak（k≥2）是{1，2，......，n}中的不同整數，並且n|ai（ai 1-1）對於所有i=1，2，.......，k-1都成立，證明：ak（a1-1）不能被n整除。”

秦元清看了三遍題目，心中暗罵一下提供這題的人以後生孩子冇屁眼，竟然暗設陷阱，一個不小心就會答錯掉。

秦元清開始作答，首先利用數學歸納法證明：對任意的整數i（2≤i≤k），都有被整除，得出當i=2時，由已知得能被乘除的結論成立。一步步以此展開，最後得出，ak（a1-1）不能被n整除的結論。

然後秦元清又看向第二道題。

“△ABC外接圓的圓心為O，P、Q分彆在線段CA、AB上，K、L、M分彆是BP、CQ、PQ的中點，圓Г過K、L、M並且與PQ相切。證明：OP=OQ。”

秦元清這一題審題完成，倒是覺得這一題比上一題容易一些，冇有設陷阱。先是做了一個圓，然後化作△ABC，然後又作出CA、AB線段以及P、Q二點，然後標出BP、CQ、PQ的中點K、L、M。最後作出圓Г。

隨後以直線PQ與圓Г相切，相切點M，然後通過弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。由於點K、M分彆是BP、PQ的中點，所以KM∥BQ，從而得出∠QMK=∠AQP。

因此得到∠MLK=∠AQP。

同理，∠MKL=∠APQ。

根據角的相等，得到△MKL∽△APO，從而得到MK/ML=AP/AQ

因為K、L、M分彆是線段BP、CQ、PQ的中點，所以得到KM=BQ/2，LM=CP/2，將此帶入上式得BQ/CP=AP/AQ，將式子轉為AP·CP=AQ·BQ。通過圓冪定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2

所以，得出結論OP=OQ。

秦元清連檢查都冇有檢查，將抽向的數學問題轉為圖像，這個是他擅長的地方，他有十全的把握證明。

緊接著秦元清看向第三題，“3、S1，S2，S3，......是嚴格遞增的正整數數列，並且它的子數列SS1、SS2、SS3，.....和SS1 1，SS2 1，SS3 1......都是等差數列。證明：S1，S2，S3......是一個等差數列。”

看著這一題，秦元清微皺起眉頭，這一題明顯比前麵兩道題難得多，秦元清將已知條件稍微捋了一下，這一道題融合了等差數列、以及轉換法。

秦元清一步一步地展開，通過數列以及子數列都是嚴格的遞增的正整數數列，設Ssk=a （k-1）d1，SSk 1=b （k-1）d2（k=1，2......，a、b、d1、d2∈N ）。

將問題轉為函數、數列後，以Sk

因此得到∠MLK=∠AQP。

同理，∠MKL=∠APQ。

根據角的相等，得到△MKL∽△APO，從而得到MK/ML=AP/AQ

因為K、L、M分彆是線段BP、CQ、PQ的中點，所以得到KM=BQ/2，LM=CP/2，將此帶入上式得BQ/CP=AP/AQ，將式子轉為AP·CP=AQ·BQ。通過圓冪定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2

所以，得出結論OP=OQ。

秦元清連檢查都冇有檢查，將抽向的數學問題轉為圖像，這個是他擅長的地方，他有十全的把握證明。

緊接著秦元清看向第三題，“3、S1，S2，S3，......是嚴格遞增的正整數數列，並且它的子數列SS1、SS2、SS3，.....和SS1 1，SS2 1，SS3 1......都是等差數列。證明：S1，S2，S3......是一個等差數列。”

看著這一題，秦元清微皺起眉頭，這一題明顯比前麵兩道題難得多，秦元清將已知條件稍微捋了一下，這一道題融合了等差數列、以及轉換法。

秦元清一步一步地展開，通過數列以及子數列都是嚴格的遞增的正整數數列，設Ssk=a （k-1）d1，SSk 1=b （k-1）d2（k=1，2......，a、b、d1、d2∈N ）。

將問題轉為函數、數列後，以Sk